테일러 전개(급수, Taylor Expansion)

테일러 급수는 간단하게 말하자면 어떤 미분가능한 함수 f(x)를 다항식으로 나타내는 것을 말합니다. 흔히 초월함수나 지수함수, 로그함수같은 복잡한 함수를 쉽게 다루기 위해 사용합니다.  a를 중심으로 하는 함수의 테일러 급수 공식은 다음과 같습니다.

위 공식은 일단 잠시 미뤄두고 테일러 급수의 이해를 돕기위해 쉬운 예시를 하나 들자면 삼각함수 sinx를 다항함수로 근사해 봅시다.  

위의 사인함수를 다항식으로 바꿔보자면 대충 아래처럼 표현 할 수 있습니다. 

함수의 x 값에 0을 삽입한다면 0이 되는 것을 볼 수 있습니다. 즉 a0은 0이 되는 것이죠. 

이 특성을 이용해서 사인함수를 한번 미분해 보겠습니다. 미분한 값은 cos함수가 되겠네요. 이 미분한 식을 위처럼 0을 또 집어넣어 봅시다. 

그러면 값은 1이 나옵니다. 이처럼 계속 미분을 하면 a0, a1, a2.....an까지 구할 수 있습니다.  여기서 구한 a값을 처음 식 f(x)에 넣는다면 실제로 sinx와 거의 같은 함수가 나오게 됩니다. 실제로 계산을 하면 그렇다는 것을 알 수 있습니다. 여기 까지가 테일러 전개를 쉽게 이해할 수 있는 예시 였습니다. 

이번에는 함수를 바꿔서 지수 함수를 예로 들어보겠습니다. 이번엔 공식을 사용해서 근사해 봅시다. 

지수함수의 중심은 0 입니다. 테일러 급수에서 중심이 0인 함수의 테일러 급수는 맥클로린 급수 라고도 합니다.  지수함수의 중심이 0인 것을 알고 공식을 다시 써보면 다음과 같이 사용할 수 있습니다. 

이 시그마를 풀어보면 

 

위와 같은 수식이 나옵니다. 여기서 x에 1을 넣으면 1/1 부터 1/n!까지의 덧셈 연산이 나오겠네요. 이 값을 실제 지수함수과 비교한다면 매우 근사하게 나오는 것을 볼 수 있습니다.